Navespro.ru

Чем мы вообще занимаемся?

Давным-давно жили-были пифагорейцы. И Пифагор в том числе.
Они считали, что арифметика — вот главная наука.
«Все есть число», — заявляли пифагорейцы.
И думали, что все можно объяснить с помощью чисел, даже гармонию
музыки. Теорема Пифагора (квадрат гипотенузы равен сумме
квадратов катетов) — она вещь тоже о числовых характеристиках.

Но однажды они доказали, что диагональ единичного квадрата не является
числом (а у них в ходу были только натуральные числа) и не является
дробью. Как же так?! Гиппас из Метапонта, предавший огласке
такую странную вещь, поплатился за это: пучина поглотила его
(сама или ей помогли — история молчит об этом).

Итак, диагональ квадрата существует геометрически, но не описывается
числом. Позже для таких случаев придумали вещественные числа. Но это вещи
сходной природы. Начнем с того, что представления вещественных чисел
в виде десятичной дроби бесконечно. Или попробуйте придумать алгоритм для
сложения (а еще лучше — для умножения) двух таких чисел,
скажем пи и корня из двух. Ну как? Символично, что «точная»
математика с использованием вещественных чисел на практике превращается
в методы приближенных вычислений.

Математика точная наука? Что ты думаешь об этом, дорогой читатель?

В конце XIX в. Кант придумал теорию множеств. Это универсальный язык.
И геометрию, и арифметику, и функции, и иное можно описать в терминах
теории множеств. Математики были в восторге. Однако оказалось, что
ей присущи парадоксы (противоречия), например, парадокс брадобрея:

В некой деревне живет брадобрей Рассел. Он бреет бороды всем
тем, кто не бреет свою бороду сам. Вопрос: бреет ли свою бороду брадобрей?

От противного можно доказать, что бреет, и можно доказать, что не бреет.

Это был тяжелый удар. В результате были предложены несколько систем аксиом,
система типов Рассела и др. подходы для исключения противоречий.
Все бы хорошо, но до сих пор не доказано, что хотя бы одна из теорий множеств,
основанная на коком-то из этих подходов, в свою очередь не противоречива.
И вот теперь седовласый профессор докажет какую-нибудь теорему, но на
душе не спокойно: а вдруг ... а вдруг Вася Пупкин обнаружит противоречие,
и половина доказанных теорем станет неправильной. Как бы и Васю не
поглотила пучина или что похуже...

Математика позволяет определить истину? Что ты думаешь об этом, дорогой читатель?

В геометрии Евклида есть пятый постулат. Он гласит, что через точку
можно провести прямую, параллельную к заданной, но только одну. Многие считали,
что это вовсе не аксиома, а теорема. И пытались ее доказать. Доказывали от
противного: строили теорию с противоположной аксиомой (когда можно провести
несколько параллельных прямых), и искали противоречие. Но — не
нашли. Кому-то хватило мужества сказать, что противоречия нет, и так появилась
новая геометрия — геометрия Лобачевского. Впрочем современники
не приняли ее, она казалась вещью, далекой от реальности. Позже удалось
выразить ее через геометрию Евклида. Геометрия Лобачевского описывает
геометрию на сфере. Т.о. одна из геометрий не более правильна, чем друга,
и не более противоречива. Кто бы мог подумать.

Развитие логики привело к еще одному «неудобному» результату.
Гёдель доказал теорему о неполноте арифметики. Т.е. не каждую формулу,
построенную средствами арифметики, можно доказать. Эта теорема также
верна и для других теорий «не проще» арифметики, а таких много.

Вот так, любая более-менее богатая теория не полна, все не описывает.
И не понятно, противоречива ли она или нет. А может она и вовсе высосана
из пальца и неприменима к жизни?

Современный подход, объясняющий эти вещи таков. Математика изучает
модели реальности. Модель, абстракция — это в том числе и
упрощение.
Выделение небольшого числа важных для решения данной задачи характеристик
и игнорирование второстепенных. И поэтому она не может описывать всю реальность,
она заведомо не полна.
И поэтому она не может описывать реальность абсолютно точно, где-то она
не точна. Логика — модель правдоподобных рассуждений, но для
определенных рассуждений она может не подходить.

Но у каждой теории есть область
применимости, где она вполне адекватна и полезна. Важно не заблуждаться, считая,
что она будет верна всегда, везде и для всех. И важно не заблуждаться, считая,
что все теории бесполезны, созданы ради теории; практика, обобщая опыт, часто
порождает теории.

Вам это будет интересно!

Последние новости